歐拉定理

歐拉定理（EulerTheorem）

什么是歐拉定理

歐拉定理指出：如果產品市場和要素市場都是完全競爭的，而且廠商生產的規模報酬不變，那么在市場均衡的條件下，所有生產要素實際所取得的報酬總量正好等于社會所生產的總產品。該定理又叫做邊際生產力分配理論，還被稱為產品分配凈盡定理。如上所述，要素的價格是由于要素的市場供給和市場需求共同決定。在完全競爭的條件下，廠商和消費者都被動地接受市場形成的價格。現在的問題是：要素所有者按照市場形成的要素價格獲得收入，全部要素收入是否等于社會總產品？

在完全競爭的條件下，廠商使用要素的原則是：要素的邊際產品價值等于要素價格。即：

（9.9）

（9.10）

由式9.9和9.10可得：

（9.11）

（9.12）

P為產品的價格，W/P和r/P分別表示了勞動和資本的實際報酬。因此在完全競爭的條件下，單位勞動、單位資本的實際報酬分別等于勞動、資本的邊際產量。假定整個社會的勞動總量和資本總量為L和K，而社會總產品為Q，那么就有：

（9.13）

式9.13稱為歐拉分配定理。它是由于該定理的證明使用了數學上的歐拉定理而得名。

歐拉定理的證明

假設生產函數為：Q=f(L.K)

由于規模報酬不變，所以生產函數為齊次方程，因此有：

k為人均資本，Q/L為人均產量，人均產量是人均資本k的函數。

由上面兩式，即可證明歐拉定理：

在規模報酬遞增情況下，如果按照邊際生產力分配，則產品不夠分配給各個生產要素，即：

（9.14）

在規模報酬遞減情況下，如果按邊際生產力進行分配，則產品在分配給各個生產要素之后還有剩余，即：

（9.15）

證明如下：

如果生產函數Q=f(L，K)為r齊次，則有：

因此有：

顯然在規模報酬遞增時，r>1，所以有：

在規模報酬遞減時，，所以有：