變形力學問題的邊界元解法(boundaryelementmethodsinmechanicsofdeformation)

在變形體的邊界上畫分成有限個單元以給定問題的積分方程為基礎進行求解變形力學問題的方法，簡稱BEM法。這種方法可以應用于包括非線性問題在內的許多方面。塑性加工力學問題是非線性問題，如彈一塑性問題和彈一粘塑性問題。所以用于塑性加工力學的邊界元法屬于非線性邊界元法。對于非線性材料，由增量(或速率)形式表示的力平衡微分方程、應變幾何方程和本構方程導出的控制微分方程與線彈性材料的對比可見，若引入體積力和表面力的修正，則可把非線性材料看做假想的彈性體來處理。根據加權余量法(求微分方程近似解的方法)或虛功率原理及貝蒂(Betti)互易定理，并引入在無限彈性體上作用單位力時的已知凱爾文(L．Kelvin)基本解，而建立以增量(或速率)表示的邊界積分方程。由已知的邊界條件，用該積分方程可解出邊界上的位移增量和表面力增量。已知這些增量后按類似的積分方程可解出域內各點的位移增量和應力增量。求解積分方程時采用數值解。為此而把所考慮的域的邊界畫分一系列單元，如用直線段代表二維邊界；用三角形或四邊形代表三維邊界面。至于域內則是因需要對體積力積分才畫分單元的。因為邊界元法只需將求解域的邊界畫分單元，故使求解問題的維數降低，如三維化為二維，二維化為一維問題。因此，輸入數據大為減少，計算時間縮短。由于它只對邊界離散，故離散誤差僅來源于邊界。而域內變量可由解析式的離散形式直接求得，計算精度提高。對邊界問題，如邊界裂紋、應力集中以及無限域問題等用邊界元法求解甚為方便，有其獨道之處。另一方面要把注意力集中于邊界積分方程的數值積分上。由于被積函數具有很強的奇異性，故數值解的精度和效率在很大程度上取決于積分方法。

雖然對積分方程的深入研究從20世紀50年代就已經開始了，但邊界元法則是在70年代末才廣泛用計算機求解工程實際問題的，如彈性力學、斷裂力學、塑性力學、流體力學、溫度場和電磁場等問題。至于用來求解塑性加工力學問題則從80年代才開始，如用邊界元法對齒輪回轉加工過程進行彈一塑性力學解析、求解三維鍛壓問題和二維軋板問題以及求解塑性加工過程中工具變形和殘余應力在制品上的分布問題等。今后著重于提高數值解的精度和求解效率以及在塑性加工領域中擴大應用范圍。